So, herzlich willkommen meine Damen und Herren.

Ich darf Sie herzlich begrüßen zum Thema Differenzalgleichung der Biegelinie.

Wir hatten das letzte Mal schon so weit vorbereitet, dass wir eben die Gleichungen schon mal hingeschrieben haben.

Ich darf das vielleicht noch einmal daran erinnern, was wir da im Endeffekt herausbekommen haben.

Und lassen Sie mich vielleicht auch noch einmal betonen, weil ich das heute auch noch einmal genauer beleuchten möchte,

dass wir uns im Moment mit der sogenannten geraden Biegung beschäftigen.

Das Thema schiefe Biegung wollen wir dann im Nachgang noch einmal ein bisschen thematisieren.

Gerade Biegung.

Gut. Und was uns hier geht, ist die Bestimmung der sogenannten Biegelinie, also der Deformation.

Das machen wir, indem wir eben die sogenannten Differentialgleichungen der elastischen Linie oder Differentialgleichungen der Biegelinie lösen.

Und wie sahen die aus?

Wir hatten zunächst mal, dass in dieser Form uns überlegt, dass das Biegemoment verknüpft ist mit der Biegelinie

über die folgende Beziehung Minus das Produkt aus dem Elastitätsmodul des Materials,

dem Flächenträgerzmoment, oben die Y-Achse in diesem Fall, und dann die Durchbiegung in ihrer zweiten Ableitung.

Nennen wir manchmal auch die Krümmung der Biegelinie.

Dann hatten wir das noch weiter verknüpft mit den Zusammenhängen, die wir kennen zwischen Moment und Querkraft.

Die Ableitung des Moments ist ja gleich der Querkraft, das heißt also Qz ergibt dann halt Minus.

Und für den Fall, dass die Biegesteifigkeit aus irgendwelchen Gründen auch noch von X abhängt,

weil entweder die Geometrie des Balkens sich ändert oder eben die Materialeigenschaften sich entlang der Balkenlänge ändern,

das ist nicht unrealistisch, auch wenn das für uns vielleicht exotisch ist im Moment.

Das heißt, da muss ich dann die Ableitung hier um das ganze Drumherum anordnen.

Und schließlich die Ableitung der Querkraftlinie entsprach ja der negativen Querbelastung.

Da hatten wir das dann also in dieser Form.

Das negative Vorzeichen haut sich hier weg.

So, ja. Und je nachdem, wie die Aufgabenstellung ist, kann ich jetzt eine von diesen Versionen hier benutzen.

Für uns ist es so, dass eigentlich fast immer der Sonderfall gilt, dass die Biegesteifigkeit konstant ist.

Und dann vereinfacht sich das ja so ein ganz kleines bisschen. Ich schreibe es noch mal unsinnigerweise hier hin.

Ja, ich freue mich, dass Sie sich amüsieren.

Ich habe nur den Verdacht, dass es nichts mit der Vollesung zu tun hat, worüber Sie da reden.

Okay, gut. Die dritte Ableitung haben wir denn hier und schließlich die Querbelastung ist denn gerade proportional zur vierten Ableitung.

Lassen Sie mich das vielleicht so notieren. Der Begegelinie.

Das heißt also, wir haben hier eine diffusenzeilgärtige zweite Ordnung, dritte Ordnung, vierte Ordnung.

Und wir hatten das schon diskutiert. Wenn ich eben die Schnittgrößen nicht a priori bestimmen will, kann ich natürlich immer mit dieser Darstellung loslegen.

Den Preis, den ich zu zahlen habe, ist, dass ich dann viermal integrieren muss, vier Integrationskonstanten bekomme.

Wenn ich ein statisch bestimmtes System habe, wo ich die Schnittgrößen schon vorab bestimmen kann, dann spare ich mir das.

Dann sind die zwei Integrationen schon in der Auswirkung der Gleichgewichtsbedingungen drin.

Aber jedenfalls, dann habe ich hier nur noch zwei Schritte zu machen, um von M auf W zu schließen.

Die Integrationskonstanten bestimmen wir aus Randbedingungen. Das sehen wir gleich noch am Beispiel.

Ja, und was ich noch sagen wollte ist, wenn ich jetzt die Begegelinie bestimmt habe, dies W,

und dann kann ich auch die ganzen Ableitungen hier bestimmen, kann das einsetzen und kann daraus sozusagen auch rückwärts die Schnittgrößen bestimmen und damit auch die auflehrerischen Reaktionen.

Das ist der Trick, warum ich jetzt auf einmal statisch unbestimmte Systeme berechnen kann.

So, okay, das sind jetzt mal zunächst noch mal die Gleichungen, wie wir sie letztes Mal hatten.

Und jetzt sollten wir das nochmal anwenden auf einige Probleme.

Hatten wir den, also wir hatten ja schon mal ganz schnell zwei Beispiele, glaube ich, angerissen.

Aber vielleicht kommen wir dann nochmal darauf zurück, sicherheitshalber.

Also der einfachste Fall ist ja ein eingespannter Kragarm mit einer Einzellast.

Ich glaube, das hatten wir noch nicht diskutiert, oder?

Haben wir das schon diskutiert?

Ja, nein, Sie sind sich nicht einig.

Aber weil das ein Referenzergebnis ist, will ich sicher sein, dass wir das nochmal machen.